Question

已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,

（1）若双曲线经过P（，2），求双曲线方程；

（2）若双曲线的焦距是2，求双曲线方程；

（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.

Answer 1

（1）（2）=1或（3）=1或

解析:

方法一  （1）由双曲线的渐近线方程y=±x及点P（，2）的位置可判断出其焦点在y轴上，（a＞0,b＞0）

故可设双曲线方程为.

依题意可得

故所求双曲线方程为.

(2)若焦点在x轴上，可设双曲线方程为.

依题意

此时所求双曲线方程为=1.

若焦点在y轴上，可设双曲线方程为.

依题意

此时所求双曲线方程为.

故所求双曲线方程为=1或.

（3）若焦点在x轴上，则a=3,且=.

∴a=3,b=2,双曲线方程为=1.

若焦点在y轴上，则a=3,且=.

∴a=3,b=,双曲线方程为.

故所求双曲线方程为=1或.

方法二  由双曲线的渐近线方程=0,

可设双曲线方程为(≠0).

(1)∵双曲线经过点P（，2），

∴=,即=-,

故所求双曲线方程为=1.

(2)若＞0，则a²=9,b²=4,c²=a²+b²=13.

由题设2c=2,则13=13,即=1.

此时，所求双曲线方程为=1.

若＜0，则a²=-4,b²=-9,c²=a²+b²=-13.

由题设2c=2,得=-1.

此时，所求双曲线方程为=-1.

故所求双曲线方程为=1或=1.

（3）若＞0，则a²=9,由题设知2a=6.

∴=1，此时所求双曲线方程为=1.

若＜0，则a²=-4,由题设知2a=6,知=-.

此时所求双曲线方程为.

故所求双曲线方程为=1或.