Question

已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0．若x₁，x₂为方程ax²+bx+c=0的两个实数根，则的取值范围为________．

Answer 1

[0.3）
分析：根据a+b+c=0可得方程ax²+bx+c=0必然有一个实数根为1，且 a＞0，c＜0，b的符号不确定，求出||的范围，而|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=||•|x₁-x₂|=||•|1-x₂ |，从而可求出的取值范围．
解答：由于 a＞b＞c，a+b+c=0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两实数根，
可得方程ax²+bx+c=0必然有一个实数根为1，且 a＞0，c＜0，b的符号不确定．
故有 a+2b＞0，1＞＞-，0≤||＜1．
不妨设 x₁ =1，由根与系数的关系可得 1+x₂=-，x₂=＜0，且对称轴为 x=-∈（-，）．
由|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=||•|x₁-x₂|=||•|1-x₂ |可得，
当||=0时，|x₁²-x₂²|=||•|1-x₂ |的最小值等于0．
再由|1-x₂ |=2|1-（-）|=2|（1+）|≤2+||＜2+1=3，
故||•|1-x₂ |＜1×3=3．
故|x₁²-x₂²|的取值范围为[0，3），
故答案为：[0，3）．
点评：本题主要考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，同时考查了计算能力，属于基础题．