Question

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，g(n)=2(

n+1

-1)(n∈N*)．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先令n=1，2，3．分别求得f（n）和g（n），再通过计算比较它们的大小即可；
（2）通过前3项进行归纳猜想，用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设n=k时成立，证明当n=k+1时也成立，即可得到猜想成立．

解答：解：（1）当n=1时，f（1）=1，g(1)=2(

2

-1)，f（1）＞g（1），
当n=2时，f(2)=1+

1

2

，g(2)=2(

3

-1)，f（2）＞g（2），
当n=3时，f(3)=1+

1

2

+

1

3

，g（3）=2，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N^*），即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)．
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．
②假设当n=k时，猜想成立，即1+

1

2

+

1

3

++

1

k

＞2(

k+1

-1)
则当n=k+1时，f(k+1)=1+

1

2

+

1

3

++

1

k

+

1

k+1

＞2(

k+1

-1)+

1

k+1

=2

k+1

+

1

k+1

-2；
而g(k+1)=2(

k+2

-1)=2

k+2

-2，下面转化为证明：2

k+1

+

1

k+1

＞2

k+2

只要证：2(k+1)+1=2k+3＞2

(k+2)(k+1)

，需证：（2k+3）²＞4（k+2）（k+1），
即证：4k²+12k+9＞4k²+12k+8，此式显然成立．所以，当n=k+1时猜想也成立．
综上可知：对n∈N^*，猜想都成立，
即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)成立．

点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．