Question

.(本小题满分13分)

已知常数a为正实数，曲线C_n：y＝在其上一点P_n(x_n，y_n)的切线l_n总经过定点(－a,0)(n∈N^*).

(1)求证：点列：P₁，P₂，…，P_n在同一直线上；

(2)求证： (n∈N^*).

Answer 1

.证法一：(1)∵f(x)＝，

∴f′(x)＝·(nx)′＝·.(1分)

C_n：y＝在点P_n(x_n，y_n)处的切线l_n的斜率k_n＝f′(x_n)＝·，

∴l_n的方程为y－y_n＝·(x－x_n).(2分)

∵l_n经过点(－a,0)，

∴y_n＝－·(－a－x_n)＝·(a＋x_n).

又∵P_n在曲线C_n上，∴y_n＝＝·(a＋x_n)，

∴x_n＝a，∴y_n＝，∴P_n(a，)总在直线x＝a上，

即P₁，P₂，…，P_n在同一直线x＝a上.(4分)

(2)由(1)可知y_n＝，∴f(i)＝＝＝.(5分)

＝<＝2(－)(i＝1,2，…，n)，

.(9分)

设函数F(x)＝－ln(x＋1)，x∈[0,1]，有F(0)＝0，

∴F′(x)＝－＝＝>0(x∈(0,1))，

∴F(x)在[0,1]上为增函数，

即当0<x<1时F(x)>F(0)＝0，故当0<x<1时>ln(x＋1)恒成立.(11分)

取x＝(i＝1,2,3，…，n)，f(i)＝>ln(1＋)＝ln(i＋1)－lni，

即f(1)＝>ln2，f(2)＝>ln(1＋)＝ln3－ln2，…，f(n)＝>ln(n＋1)－lnn，

    综上所述有 (n∈N^*).(13分)

证法二：(1)设切线l_n的斜率为k_n，由切线过点(－a,0)得切线方程为y＝k_n(x＋a)，

则方程组的解为.(1分)

由方程组用代入法消去y化简得kx²＋(2ak－n)x＋ka²＝0，(*)

有Δ＝(2ak－n)²－4k·ka²＝－4ank＋n²＝0，

∴k＝.(2分)

代入方程(*)，得x²＋(2a·－n)x＋·a²＝0，即x²－2a·x＋a²＝0，

∴x＝a，即有x_n＝a，y_n＝＝，

即P₁，P₂，…，P_n在同一直线x＝a上.(4分)

(2)先证：0<x<1时>x>ln(x＋1)，以下类似给分.