Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e=2，F₁，F₂是左，右焦点，过F₂作x轴的垂线与双曲线在第一象限交于P点，直线F₁P与右准线交于Q点，已知

F1P

•

F2Q

=-

15

64

（1）求双曲线的方程；
（2）设过F₁的直线MN分别与左支，右支交于M、N，线段MN的垂线平分线l与x轴交于点G（x₀，0），若1≤|NF₂|＜3，求x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为双曲线的离心率e=2，所以可得含a，c的等式，再由

F1P

•

F2Q

=-

15

64

，可求出a值，结合a，b，c的关系式，就能求出b，双曲线的方程可知．
（2）因为直线MN过F₁点，可设出点斜式方程，与双曲线方程联立，求出两根之和，两根之积，再因为线段MN的垂线平分线l与MN斜率互为负倒数，且过MN中点，所以线段MN的垂线平分线l方程可以写出，再因为可用线段MN的垂线平分线l与x轴交于点G（x₀，0），可用含k的式子表示x₀，再根据1≤|NF₂|＜3，求x₀的范围即可．

解答：解：（1）∵e=2⇒c=2a，F₁（-2a，0），F₂（2a，0），P（2a，m）m=|PF₂|=e•2a-a=3a∴P（2a，3a），
设Q(

a

2

，t)∵F₁，Q，F₂三点共线∴t=

15a

8

∵

F1Q

•

F2Q

=-

15

64

得a²=1
∴x2-

y2

3

=1
（2）设MN：y=k（x+2）代入3x²-y²=3得：（3-k²）x²-4k²x-4k²-3=0△＞0?k²+1＞0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵x1+x2=

4k2

3-k2

∴l：y-

6k

3-k2

=-

1

k

(x-

2k2

3-k2

)
∵l过Q（x₀，0）∴x0=

8k2

3-k2

∵|NF₂|=2x₁-1且|NF₂|∈[1，3）
∴x₁∈[1，2）

y12=k2(x1+2)2 y12=3x12-3

⇒k2=

3x12-3

(x1+2)2

令f(x1)=

x12-1

(x1+2)2

∵f′(x1)=

2(2x1+1)

(x1+2)3

＞0
∴f（x₁）在x₁∈[1，2）上单调递增
得 k2∈[0，

9

16

)∵x0=8(-1+

3

3-k2

)∴x0∈[0，

24

13

)

点评：本题考查了双曲线方程的求法，以及直线与双曲线位置关系的判断，做题时要认真分析．