Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，

2

2

）
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆左顶点M（-a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求

OP

•

ON

的值．
（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若K_QA+K_QB=2与l的斜率无关，求t的值．

Answer 1

（1）由题意得

a2=b2+1 1 a2 + 1 2b2 =1

解得a²=2，b²=1
故椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（2）设N（

2

，m），P（X，Y）则MN的方程为y=

m

2 2

(x+

2

)
由

y= d 2 2 (x+ 2 ) x2 2 +y2=1

得(4+m2)x2+2

2

m2x+2m2-8=0
由韦达定理得x-

2

=

-2 2 m2

4+m2

所以x=

4 2 - 2 m2

4+m2

代入直线方程得
P（

4 2 - 2 m2

4+m2

，

4m

4+m2

）
∴

OP

=(

4 2 - 2 m2

4+m2

，

4m

4+m2

)，

ON

=(

2

，m)
∴

OP

•

ON

=

8-2m2

4+m2

+

4m2

4+m2

=2
（3）AB的方程为x=my+1，设A（e，f），B（g，h）
由

x=my+1 x2 2 +y2=1

得（m²+2）y²+2my-1=0
所以f+h=-

2m

m2+2

，fh=

-1

m2+2

kQA+kQB=

f-t

e-2

+

h-t

g-2

=

f-t

mf-1

+

h-t

mh-1

=

2mfh-(mt+1)(f+h)+2t

m2fh-m(f+h)+1

=

- 2m m2+2 + (mt+1)•2m m2+2 +2t

- m2 m2+2 + 2m2 m2+2 +1

=2
∵K_QA+K_QB=2与l的斜率无关
∴2t=2，即t=1．