Question

已知函数f（x）=

1

a

(x+

c

x

)（x≠0，a＞0，c＞0），当x∈（0，+∞）时，函数f（x）在x=2处取得最小值1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞0，解关于x的不等式（3k+1）-4f（x）＞

2k(k+1)-4

x

．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）在x=2处取得最小值1，可知f（2）=1，f′（2）=0，可解得a、c的值，可知函数f（x）的解析式；
（2）把（1）求得的f（x）代入不等式(3k+1)-4f(x)＞

2k(k+1)-4

x

，解关于x的不等式，转化为整式不等式求解．

解答：解：（1）∵a＞0，c＞0，
∴当x＞0时，f（x）=

1

a

(x+

c

x

)≥

1

a

•2

c

当x=

c

x

即x=

c

时，函数f（x）取得最小值

2 c

a

，
由题意

c =2 2 c a =1

?

a=4 c=4

∴f（x）=

x2+4

4x

（x≠0）
（2）（3k+1）-4f（x）＞

2k(k+1)-4

x

?(3k+1)-4•

x2+4

4x

＞

2k(k+1)-4

x

?

x2-(3k+1)x+2k(k+1)

x

＜0?

(x-2k)[(x-(k+1)]

x

＜0
∵k＞0
∴k+1＞k＞0
①当0＜k＜1时，0＜2k＜k+1，原不等式解集为（-∞，0）∪（2k，k+1）
②当k＞1时，0＜k+1＜2k，原不等式解集为（-∞，0）∪（k+1，2k）
③当k=1时，0＜2k=k+1，原不等式解集为（-∞，0）

点评：考查利用导数研究函数的极值，和含参数不等式的解法，体现了方程的思想、转化的思想和分类讨论的思想，属难题．