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    【题目】已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

    （1）证明：平面平面；

    （2）若是的中点，求二面角的余弦值．

    【答案】（1）见解析（2）

    【解析】

    （1）设的中点为，连接，，由边长关系得，从而可得平面，即可证明平面平面；

    （2）由（1）问可知平面，所以以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，利用向量法求出平面和平面的法向量，再利用二面角的公式即可得到二面角的余弦值。

    （1）设的中点为，连接，，

    由题意，得，，．

    因为在中，，为的中点，所以，

    因为在中，，，，

    ，所以

    因为，，平面，所以平面，

    平面，所以平面平面

    （2）由（1）问可知平面，所以，，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，

    则，，，，，，

    ，，

    设平面的法向量为，则

    由得：．令，得，，即

    ．

    设平面的法向量为，由得：

    ，令，得，，即

    ．由图可知，二面角的余弦值为．

    练习册系列答案
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    （2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？

    （3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

    （4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？

    （5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？

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    组别

    一

    二

    三

    四

    五

    满意度评分

    [0，2）

    [2，4）

    [4，6）

    [6，8）

    [8，10]

    频数

    5

    10

    a

    32

    16

    频率

    0.05

    b

    0.37

    c

    0.16

    (1)求表格中的a，b，c的值；

    (2)估计用户的满意度评分的平均数；

    (3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？

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    【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，为的中点，平面且，为的中点.

    （1）证明：平面；

    （2）求直线与平面所成角的正弦值.

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    【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

    未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

    日用

    水量

    频数

    1

    3

    2

    4

    9

    26

    5

    使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

    日用

    水量

    频数

    1

    5

    13

    10

    16

    5

    （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

    （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

    （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

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    【题目】一个工厂在某年连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：

    x

    1.08

    1.12

    1.19

    1.28

    1.36

    1.48

    1.59

    1.68

    1.80

    1.87

    y

    2.25

    2.37

    2.40

    2.55

    2.64

    2.75

    2.92

    3.03

    3.14

    3.26

    （1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

    （2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；

    ②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？

    （均精确到0.001）

    附注：①参考数据：，

    ，

    ②参考公式：相关系数，

    回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．

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    （1）求圆C和直线l的极坐标方程；

    （2）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.

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