Question

（2013•成都二模）已知函数f（x）=x-

1

x

-alnx，g（x）=x+

1

x

-（lnx）^a，其中x＞0，a∈R
（I）若函数f（x）无极值，求a的取值范围；
（II）当a取（I）中的最大值时，求函数g（x）的最小值；
（III）证明不等式

n

k=1

1

2k (2k+1)

＞ln

2n+1

2n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）求导函数，函数f（x）无极值，等价于方程x²-ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根，由此即可求a的取值范围；
（II）当a取（I）中的最大值时，先证明x＞0时，|x-

1

x

|≥|2lnx|=|lnx²|，再换元，即可求函数g（x）的最小值；
（III）先证明

1

2n(2n+1)

＞ln

2n+1

2n

，在利用放缩法，即可得到结论．

解答：（I）解：求导函数，可得f′(x)=

x2-ax+1

x2

∵函数f（x）无极值，∴方程x²-ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根
∴方程a=x+

1

x

在（0，+∞）上无根或有唯一根
∴a≤2；
（II）解：a=2时，f（x）=x-

1

x

-2lnx，g（x）=x+

1

x

-（lnx）²，
由（I）知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
当x∈（0，1）时，f（x）=x-

1

x

-2lnx＜f（1）=0，即x-

1

x

＜2lnx＜0；
当x∈（1，+∞）时，f（x）=x-

1

x

-2lnx＞f（1）=0，即x-

1

x

＞2lnx＞0；
∴x＞0时，|x-

1

x

|≥|2lnx|=|lnx²|
令x²=t＞0，∴|

t

-

1

t

|≥|lnt|
平方得t+

1

t

-2≥(lnt)2
∴t＞0时，t+

1

t

-(lnt)2≥2成立，当且仅当t=1时取等号
∴当x=1时，函数g（x）取最小值2；
（III）证明：由上知，x＞1时，x+

1

x

-（lnx）²＞2，即(

x

-

1

x

)2＞(lnx)2
∴x＞1时，

x

-

1

x

＞lnx成立，
令x=

2n+1

2n

，得

2n+1 2n

-

2n 2n+1

＞ln

2n+1

2n

，
即

1

2n(2n+1)

＞ln

2n+1

2n

∴不等式

n

k=1

1

2k (2k+1)

＞ln

21+1

21

+…+ln

2n+1

2n

＞ln

21+2

21+1

+…+ln

2n+2

2n+1

=ln(2n•

20+1

21+1

•…•

2n-1+1

2n+1

)=ln

2n+1

2n+1

即

n

k=1

1

2k (2k+1)

＞ln

2n+1

2n+1

(n∈N*)．

点评：本题考查导数知识的运用，函数函数的单调性与极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．