Question

（本题满分16分）已知圆C：x²＋y²＋x－6y＋m=0．

（1）若圆M：与圆C相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，求m的值．

（2）若直线x＋2y－3=0与圆C相交于P，Q两点，O为原点，且OP^OQ，求该圆的半径．

Answer 1

解：（1）由题知：M（0，0），C（，3），MA^CA，

所以，所以m=1       …………………………5分

（2）法一：设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，由OP^OQ, 得:：k_OPk_OQ= -1，即= -1

即x₁x₂+y₁y₂=0  ①                      …………………………7分

另一方面(x₁，y₁)，(x₂，y₂)是方程组的实数解，

即x₁，x₂是5x²+10x+4m-27=0   ②  的两个实数根，

∴x₁+x₂=－2，x₁x₂= ③                …………………………10分

又P、Q在直线x+2y-3=0上，∴y₁y₂=(3-x₁)(3-x₂)= [9-3(x₁+x₂)+x₁x₂] 

将③代入得y₁y₂=  ④          ……………12分

将③④代入①知：m=3.             …………………………14分

代入方程②检验D＞０成立．               …………………………15分

∴半径为                …………………………16分

法二：将3=x+2y代入圆的方程知：x²+y²+(x+2y)(x-6y)+ (x+2y)²=0，……………7分

整理得：(12+m)x²+4(m-3)x y+(4m-27)y²=0

由于x≠0，可得(4m-27)( )²+4(m-3) +12+m=0，     …………………………10分

∴k_OP, k_OQ是上方程的两根, 由k_OPk_OQ= －1知： =－1,  ……………………14分

解得：m=3. 检验知满足题意                    …………………………15分

∴半径为                …………………………16分