Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF2|=

5

3

（I）求椭圆C₁的方程；   
（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线7x-7y+1=0上，求直线AC的方程．

Answer 1

分析：（I）设点M为（x₁，y₁），由F₂是抛物线y²=4x的焦点，知F₂（1，0）；|MF₂|=

5

3

，由抛物线定义知x₁+1=

5

3

，即x₁=

2

3

；由M是C₁与C₂的交点，y₁²=4x₁，由此能求出椭圆C₁的方程．
（II）直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，设直线AC的方程为x+y=m，由

x+y=m x2 4 + y2 3 =1

，得7x²-8mx+4m²-12=0．由点A、C在椭圆C₁上，知（-8m）²-4×7×（4m²-12）＞0，由此能导出直线AC的方程．

解答：解：（I）设点M为（x₁，y₁），
∵F₂是抛物线y²=4x的焦点，
∴F₂（1，0）；
又|MF₂|=

5

3

，由抛物线定义知
x₁+1=

5

3

，即x₁=

2

3

；
由M是C₁与C₂的交点，
∴y₁²=4x₁，即y₁=±

2 6

3

，这里取y₁=

2 6

3

；
又点M（

2

3

，

2 6

3

）在C₁上，
∴

4

9a2

+

8

3b2

=1，且b²=a²-1，
∴9a⁴-37a²+4=0，∴a2=4或a2=

1

9

＜c2（舍去），
∴a²=4，b²=3；
∴椭圆C₁的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（II）∵直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
不妨设直线AC的方程为x+y=m，
则

x+y=m x2 4 + y2 3 =1

∴消去y，得7x²-8mx+4m²-12=0；
∵点A、C在椭圆C₁上，
∴（-8m）²-4×7×（4m²-12）＞0，即m²＜7，∴-

7

＜m＜

7

；
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

8m

7

，y₁+y₂=（-x₁+m）+（-x₂+m）=-（x₁+x₂）+2m=-

8m

7

+2m=

6m

7

，
∴AC的中点坐标为(

4m

7

，

3m

7

)，
由菱形ABCD知，点(

4m

7

，

3m

7

)也在直线BD：7x-7y+1=0上，
即7×

4m

7

-7×

3m

7

+1=0，∴m=-1，由m=-1∈(-

7

，

7

)知：
直线AC的方程为：x+y=-1，即x+y+1=0．

点评：本题考查椭圆方程和求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用，注意合理地进行等介转化．