Question

设f(x)=

ax+a-x

2

，g(x)=

ax-a-x

2

（其中a＞0，且a≠1）．
（1）5=2+3请你推测g（5）能否用f（2），f（3），g（2），g（3）来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．

Answer 1

分析：（1）先写出g（5）=

a5-a-5

2

再探究用f（2），f（3），g（2），g（3）来表示它．
（2）考查（1）中的结论，观察自变量之间的关系，得出不念旧恶猜想，再进行验证证明．

解答：解：（1）由f（3）g（2）+f（2）g（3）=

a3+a-3

2

×

a2-a-2

2

+

a2+a-2

2

×

a3-a-3

2

=

a5-a-5

2

，
又g（5）=

a5-a-5

2

，
因此 g（5）=f（3）g（2）+f（2）g（3）．
（2）由 g（5）=f（3）g（2）+f（2）g（3），即g（2+3）=f（3）g（2）+f（2）g（3），
于是推测g（x+y）=f（y）g（x）+f（x）g（y），
证明：因为f(x)=

ax+a-x

2

，g(x)=

ax-a-x

2

（大前提）．
所以g(x+y)=

ax+y-a-(x+y)

2

，g(y)=

ay-a-y

2

，f(y)=

ay+a-y

2

，（小前提及结论）
所以
f（x）g（y）+f（y）g（x）=

ax+a-x

2

×

ay-a-y

2

+

ay+a-y

2

×

ax-a-x

2

点评：本题考查归纳推理，求解的关键是根据题设中的条件总结出规律并加以规范．归纳推理的结论不一定正确，作为发现新问题，发现新规律思维方式，归纳推理应用很广泛．