Question

【题目】已知函数.

（1）求的图像在处的切线方程；

（2）求函数的极大值；

（3）若对恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）-1；（3）

【解析】

（1）由函数，可得，求出和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．
（2）由，求得，分析在上单调性和零点，即可得出单调性与极值．
（3）令，求出，对分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数的取值范围．

解：（1）因为，

所以，所以，

因为经过，

所以的图像在处的切线方程为；

（2）因为，，

所以，

又在递减，，

所以在，，即在递增；

在，，即在递减，

所以在处，取极大值，；

（3）设，，

所以，

①时，对恒成立，

所以在递增，

又，

所以时，，

这与对恒成立矛盾，舍去；

②时，设，，，

所以，，

所以对恒成立，

所以在递减，

又，

所以对恒成立，

所以成立；

③时，设，，，

解得两根为，，其中，，

所以，，

所以，，，

所以在递增，

又，

所以，

这与对恒成立矛盾，舍去，

综上：.