Question

【题目】已知函数f (x)＝x2－aln x－1，函数F(x)＝.

(1)如果函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数a的取值范围；

(2)当a＝2时，你认为函数y＝的图象与y＝F(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）(－∞，0]（2）没有公共点

【解析】试题分析：（1）由函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，得到f ′(x)＝2x－＞0，即a＜2x2在(0，＋∞)上恒成立，转为最值问题；

（2）原问题等价于的解的个数，即x2－2ln x－x＋2－2＝0的解的个数，构造新函数，研究函数的最值即可.

试题解析：

(1)∵f (x)＝x2－aln x－1的定义域为(0，＋∞)，函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，

∴f ′(x)＝2x－＞0在(0，＋∞)上恒成立.

∴a＜2x2在(0，＋∞)上恒成立，

∵y＝2x2＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴a≤0.

∴所求的a的取值范围为(－∞，0].

(2)当a＝2时，函数y＝的图象与y＝F(x)的图象没有公共点.证明如下：

当a＝2时，y＝＝，它的定义域为

{x|x＞0且x≠1}，F(x)的定义域为[0，＋∞).

当x＞0且x≠1时，由＝F(x)得x2－2ln x－x＋2－2＝0.

设h(x)＝x2－2ln x－x＋2－2，

则h′(x)＝2x－－1＋

＝.

∴当0＜x＜1时，h′(x)＜0，此时，h(x)单调递减；

当x＞1时，h′(x)＞0，此时，h(x)单调递增.

∴当x＞0且x≠1时，h(x)＞h(1)＝0，

即h(x)＝0无实数根.

∴当a＝2，x＞0且x≠1时， ＝F(x)无实数根.

∴当a＝2时，函数y＝的图象与y＝F(x)的图象没有公共点.