Question

（2005•温州一模）已知函数f(x)=ln

x-2

x-4

+

x

4

（1）求f（x）的极．
（2）求证f（x）的图象是中心对称图形．
（3）设f（x）的定义域为D是否存在[a，b]⊆D．当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[

a

4

，

b

4

]？若存在，求实数a、b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由导数运算法则知，f/(x)=

x(x-6)

4(x-2)(x-4)

，再利用导数与单调性关系解得即可；
（2）设P（x，f（x））为f（x）的图象上一点，欲证f（x）的图象是中心对称图形即证P关于(3，

3

4

)的对称点是Q(6-x，

3

2

-f(x))还在图形上，只须证明：f(6-x)=ln

4-x

2-x

+

6-x

4

=

3

2

-f(x)即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a、b．再利用函数的单调性问题利用导数解决，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）f/(x)=

x(x-6)

4(x-2)(x-4)

．（2′）注意到

x-2

x-4

＞0，得x∈（-∞，2）∪（4，+∞），
解

x(x-6)

4(x-2)(x-4)

=0得x=6或x=0．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	（4，6）	6	（6，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以f(0)=ln

1

2

是f（x）的一个极大值，f(6)=ln2+

3

2

是f（x）的一个极大值..（4′）
（2）点（0，f（0）），（6，f（6））的中点是(3，

3

4

)，所以f（x）的图象的对称中心只可能是(3，

3

4

)．（6′）
设P（x，f（x））为f（x）的图象上一点，P关于(3，

3

4

)的对称点是Q(6-x，

3

2

-f(x))．∵f(6-x)=ln

4-x

2-x

+

6-x

4

=

3

2

-f(x)．
∴Q也在f（x）的图象上，因而f（x）的图象是中心对称图形．（8′）
（3）假设存在实数a、b．∵[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．
若0≤b＜2，当x∈[a，b]时，f(x)≤f(0)=ln

1

2

＜0，而

b

4

≥0
∴f(x)≠

b

4

．故此时f（x）的取值范围是不可能是[

a

4

，

b

4

]．（10′）
若4＜a≤6，当x∈[a，b]时，f(x)≥f(6)=ln2+

3

2

＞

3

2

，而

a

4

≤

3

2

∴f(x)≠

a

4

．故此时f（x）的取值范围是不可能是[

a

4

，

b

4

]．（12′）
若a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的单调递增区间是（-∞，0），（6，+∞），
知a，b是f(x)=

x

4

的两个解．而f(x)-

x

4

=ln

x-2

x-4

=0无解．
故此时f（x）的取值范围是不可能是[

a

4

，

b

4

]．（14′）
综上所述，假设错误，满足条件的实数a、b不存在．

点评：本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力，还考查了函数图象中心对称的性质的应用，即函数的对称中心的坐标是（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，由此恒等式进行求值．