Question

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（1）求角A 的大小；
（2）设函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

，当f(B)=

2 +1

2

时，若a=

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的余弦定理求出cosA，根据A的范围，求得A的值．
（Ⅱ） 利用二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x） 为

2

2

sin(x+

π

4

)，由f(B) =

2 +1

2

 求得sin(B+

π

4

)=1，
再根据B的范围，求得B的值，再由正弦定理求得b的值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
注意到在△ABC中，0＜A＜π，所以A=

π

3

为所求．
（Ⅱ）f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

1

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=

2

2

sin(x+

π

4

)+

1

2

，
由f(B)=

2

2

sin(B+

π

4

)+

1

2

=

2 +1

2

，得sin(B+

π

4

)=1，
注意到0＜B＜

2

3

π，

π

4

＜B+

π

4

＜

11π

12

，所以B=

π

4

，由正弦定理，b=

asinB

sinA

=

2

，
所以b=

2

为所求．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，已知三角函数值求角的大小，化简f（x） 为

2

2

sin(x+

π

4

)，是解题的关键．