Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上，且的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过该椭圆的左顶点作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点的两点、，证明：动直线恒过轴上一定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：（1)由三角形的面积可得.结合椭圆的定义可得，则..所求方程为.

（2)假设结论成立，定点坐标设为，显然.当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，的方程为，与椭圆方程联立可得，直线与轴相交于点.当直线的斜率存在时，设的方程为，与椭圆方程联立有 ，，则 ，据此可得或，则直线恒过点.详解：（1)∵点在椭圆上，且的面积为，

∴，即.

∴两个焦点坐标分别为、.

∴，即：.

∴.

∴所求方程为.

（2)假设结论成立，定点坐标设为，显然.

当直线的斜率不存在时，轴，此时直线的斜率为，

∴的方程为，代入化简得：，

∴或，即此时直线与轴相交于点.

当直线的斜率存在时，设为，依题意，.

则的方程为，

代入并化简得： ，

设、，

∴，.

又，

∴

∴，解之得或，

即直线恒过点.

综上所述，直线恒过定点.