Question

已知函数f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2，由此即可得到参数m的方程，求出参数的值．
（2）由（1）知f（x）=x+

1

x

，故利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性即可．
（3）本题做题格式是先判断出单调性，再进行证明，证明函数的单调性一般用定义法证明或者用导数证明，本题采取用定义法证明其单调性．

解答：解：（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
（2）f（x）=x+

1

x

，f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（3）函数f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上为增函数，证明如下
设x₁、x₂是（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=x₁-x₂+（

1

x1

-

1

x2

）
=x₁-x₂-

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

．
当1＜x₁＜x₂时，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上为增函数．

点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，主要考查用函数单调性的定义来证明函数单调性的能力，本题中函数解析式是一个分工，在证明时要注意灵活选用方法进行变形，方便判号，定义法证明函数单调性的步骤是：取值、作差变形、定号、判断结论．