Question

已知函数，.（其中为自然对数的底数），

（Ⅰ）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）若对于任意实数≥0，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ），                          ………………………1分

因此在处的切线的斜率为，       ………………………2分

又直线的斜率为，                    ………………………3分

∴（）＝－1，

∴ ＝－1.                                            ………………………5分

（Ⅱ）∵当≥0时，恒成立，

∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数；      ………………………6分

   又当＞0时，恒成立，

则恒成立，                       …………………………………………7分

设＝，则＝，

当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，

当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减，

故当＝1时，取得极大值，

，                    …………………………………………9分

∴ 要使≥0，恒成立，＞－，

∴ 实数的取值范围为．        …………………………………………10分

（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为，

令＝，则＝

设，则，

当，，故在上的最小值为，…………………12分

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，

则＝0，矛盾。                    …………………………………………13分

所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.

…………………………………………14分