Question

如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC．
（1）求证△ABC∽△ADB；
（2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据AC为⊙O的半径，可知：∠ABC=90°，由AD⊥BP，可知：∠ABC=∠ADB，根据切线的性质知：∠ABD=∠ACB，从而可证：△ABC∽△ADB；
（2）在Rt△POA中，根据勾股定理可将OP的长求出，再根据△ABC∽△PAO，可将AB的长求出．

解答：证明：（1）∵AC是圆O的直径
∴∠ABC=90°
∵AD⊥BP
∴∠ADB=90°∴∠ABC=∠ADB
∵PB是圆的切线
∴∠ABD=∠ACB
在△ABC和△ADB中：
∵∠ABC=∠ADB，∠ABD=∠ACB
∴△ABC∽△ADB．

（2）连接OP，在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米
∴OP=13厘米
∵PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC．
∴OP⊥AB，OP 平分AB，
∴△ABC∽△PAO
∴

AB

AC

=

AP

OP

∴

AB

10

=

12

13

∴AB=

120

13

厘米

点评：本题主要考查相似三角形的判定及切线性质的应用．本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．