Question

设f(θ)=2cos2θ+

3

sin2θ，θ∈(0，

π

4

)；
（1）求f（θ）的值域；
（2）若y=x+

a

x

（x＞0），试问实数a为何值时，y≥f（θ）恒成立？

Answer 1

分析：（1）通过二倍角的三角函数公式进行化简，得到f(θ)=2sin(2θ+

π

6

)，最后根据θ∈（0，

π

4

），可以得出函数f（θ）的值域．
（2）由（1）得f（θ）_max=3，从而x+

a

x

≥3，在（0，+∞）恒成立等价于a≥x（3-x）在（0，+∞）恒成立，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答：解：（1）f(θ)=2sin(2θ+

π

6

)+1；

&0＜θ＜ π 4

⇒& π 6 ＜2θ+ π 6 ＜ 2π 3

⇒f（θ）∈（2，3]
∴f（θ）的值域：（2，3]．
（2）∵f（θ）_max=3，
∴x+

a

x

≥3，在（0，+∞）恒成立
a≥x（3-x）在（0，+∞）恒成立，
∵x(3-x)=-x2+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

≤

9

4

，
x=

3

2

∈(0，+∞)时取等号
∴只要a≥

9

4

即可．

点评：本题着重考查了三角函数的最值、函数恒成立问题，属于中档题．准确运用三角函数有关公式结合三角函数的图象与性质，是解决本题的关键．