Question

【题目】已知函数(,且),且.

(1)求实数的值;

(2)判断函数的奇偶性并证明

(3)若函数有零点,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)2(2)奇函数.见解析 (3)或.

【解析】

(1)代入求解即可.

(2)由(1)化简可得,再分析与的关系判定即可.

(3)分析可知有实根,再换元令,分析,的取值范围进而求得的取值范围即可.

(1)因为

解得

(2)是奇函数.

由得:

故,所以是奇函数

(3)方法一:

代入可得

因为有零点,所以有实根.

显然不是的实根,所以有实根.

设,,.因为.

①当时,,所以,

所以

②当时,,

所以

综上,的值域为

所以,当时,有实根,

即有零点

方法二:代入可得

因为有零点,所以有实根.

所以有实根.

显然,时上式不成立,所以有实根

因为,

所以

所以或.

所以,当时,有实根.

即有零点