Question

【题目】如图1，矩形中， ，将沿折起，得到如图所示的四棱锥，其中.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）的中点，连接， .易知， ，又求得， ，所以，得所以平面，平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量.平面的法向量

，所以求得二面角的余弦值为。

试题解析：

（1）在图2中取的中点，连接， .由条件可知图1中四边形为正方形，则有，且可求得.

在中， ， ， ，由余弦定理得.

在中， ，所以，即.

由于， 平面， 且， ，所以平面.

又平面，故平面平面.

（2）如图，以为坐标原点，以平行于的方向为轴，平行于的方向为轴，建立空间直角坐标系.由题设条件，可得， ， ， .

由（1）得平面，可求得点坐标为，

所以， ，设平面的法向量为，由及得令，由此可得.

由于， ，设平面的法向量为，由及得令，由此可得

所以

则平面与平面所成锐二面角的余弦值为.