Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F,过F作两条互相垂直的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M、N.

(1)求证:直线MN必过定点,并写出此定点坐标；

(2)分别以AB和CD为直径作圆,求两圆相交弦中点H的轨迹方程.

Answer 1

(1)证明:设AB斜率为k，将AB方程与抛物线方程联立，求得M(,)，将k换为-得N(2k²+1,-2k)，由两点式得MN方程为(1-k²)y=k(x-3),则直线MN恒过定点T(3，0).

?

(2)解:由抛物线性质，以AB、CD为直径的⊙M、⊙N的半径分别为x_M+1,x_n+1，?

于是可得两圆方程分别为(x-x_m)²+(y-y_m)²=(x_m+1)²和(x-x_n)²+(y-y_n)²=(x_n+1)²,?

两式相减可得其相交弦所在直线方程为(x_m-x_n)x+(y_m-y_n)y=(y_m²-y_n²)-(x_m-x_n)=(-?4k²)-(-2k²)=0，?

则公共弦过原点O.所以∠OHT=90°.?

于是，点H的轨迹是以OT为直径的圆(除去直径的两个端点)，?

其轨迹方程为(x-)²+y²=(y≠0).