Question

16、用数学归纳法证明命题：
（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）

Answer 1

分析：本题考察的知识点是数学归纳法，要证明（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）成立，我们要先证明n=1时，等式成立，再假设n=k时，等式成立，进而求证n=k+1时，等式成立．

解答：证明：①当n=1时，左边=2，右边=2¹×1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，
即（k+1）×（k+2）×…×（k+k）=2^k×1×3×…×（2k-1）
则当n=k+1时，
左边=（k+1）×（k+2）×…×（k+k）×（k+k+1）×（k+1+k+1）
=2^k×1×3×…×（2k-1）×（k+k+1）×（k+1+k+1）
=2^k×1×3×…×（2k-1）×[2（k+1）-1]×（k+1）×2
=2^k+1×1×3×…×（2k-1）×[2（k+1）-1]
即n=k+1时，等式也成立．
所以（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）对任意正整数都成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．