Question

【题目】(2015·陕西）设fn(x)是等比数列1,x,x2...,xn的各项和，其中x>0，nN, ，n≥2,
（1）证明：函数Fn（x）=fn(x)-2在(,1)内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=+xnn+1；
（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)与gn(x)的大小，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）

见解析。

（2）

见解析。

【解析】（I）Fn（x）=fn(x)-2=1+x+x2+...+xn-2则Fn（1）=n-1>0
Fn（）=1++()2+...+()n-2=
所以Fn（x）在(,1)内至少存在一个零点xn.
又Fn'（x）=1+2x+...+nxn-1>0，故在(,1)内单调递增，
所以Fn（x）在(,1内有且仅有一个零点xn.
因为xn是Fn（x）的零点，所以Fn（xn）=0，即-2=0，故xn=+xnn+1.
(II)解法一：由题设，gn(x)=
设h(x)= fn(x)-gn(x)=1+x+x2+...+xn-,
x>0, 当x=1时， fn(x)=gn(x)
当x≠1时, h'(x)=1+2x+...nxn-1-
若0<x<1,h'(x)>xn-1+2xn-1+...+nxn-1-=-=0
若x>1,h'(x)<xn-1+2xn-1+...+nxn-1-=-=0
所以h(x)在(0,1)上递增，在(1,+)上递减，
所以h(x)<h(1)=0，即fn(x)<gn(x)
综上所述，当x=1时, fn(x)=gn(x)；当x≠1时fn(x)<gn(x)
解法二 由题设， fn(x)=1+x+x2+...+xn, gn(x)=, x>0
当x=1时, fn(x)=gn(x)
当x≠1时, 用数学归纳法可以证明fn(x)<gn(x).
当n=2时, f2(x)-g2(x)=-(1-x)2<0所以f2(x)<g2(x)成立.
假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)<gk(x)
那么，当n=k+1时，
.fk+1(x)=fk(x)+xk+1<gk(x)+xk+1=+xk+1=
又gk+1(x)-=
令fk(x)=kxk+1-(k+1)xk ， +1(x>0), 则hk'(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1(x-1)
所以当0<x<1,hk'(x)<0, hk'(x)在(0,1)上递减；
当x>1,hk'(x)>0,hk(x)在(1,+)上递增.
所以hk(x)>hk(1)=0，从而gk+1(x)>
故fk+1(x)<gk+1(x).即n=k+1，不等式也成立.
所以，对于一切n≥2的整数，都有.fn(x)<gn(x)
解法三:由已知，记等差数列为{ak}, 等比数列为,则，，{bk} k=1,2,...,n+1, 则a1=b1=1, an+1=bn+1=xn
所以,ak=1+(k-1)-(2≤k≤n), bk=xk-1(2≤k≤n)
令mk(x)=ak-bk=1+-xk-1(2≤k≤n).
当x=1时, ak=bk,所以fn(x)=gn(x)
当x≠1时, mk'(x)=nxn-1-(k-1)xk-2=(k-1)xk-2(xn-k+1-1)
而2≤k≤n,，所以k-1>0，n-k+1≥1.
若0<x<1 , xn-k+1<1, mk'(x)<0
当x>1, ,,, xn-k+1>1,mk'(x)>0
从而mk(x)在(0,1)上递减,mk(x)在(1,+)上递增.所以，mk(x)>mk(1)=0
所以当x>0又a1=b1),an+1=bn+1 ， 故fn(x)<gn(x)
综上所述，当x=1时, fn(x)=gn(x)；当x≠1时fn(x)<gn(x)。
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的前n项和公式的相关知识，掌握前项和公式：．