Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为棱的中点，与交于点，侧面，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）取中点为，连接，，，可证明四边形为平行四边形，进而得到线面平行；（2）建立坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，由向量的夹角公式得到要求的线面角.

解析：

（1）取中点为，连接，，，

由，，，，

得，且，

所以四边形为平行四边形.

所以，

又因为平面，平面，所以平面.

（2）由已知.

又平面，

所以，，两两垂直.

以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则经计算得，，，，

因为，

所以，

所以，，

.

设平面 一个法向量为，

由

令，得.

设直线与平面所成的角为，

则.