Question

已知数列{a_n}满足：a₁＋＝n²＋2n（其中常数λ＞0，n∈N*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对任意n∈N*，都有（1－λ）S_n＋λa_n≥2λⁿ恒成立，求实数λ的取值范围。

Answer 1

解：（1）当n＝1时，a₁＝3；
当n≥2时，由a₁＋＝n²＋2n，              ①
得＝（n-1）²＋2（n-1），    ②
①-②得：＝2n＋1，
所以a_n＝（2n＋1）·λ^n-1，（n≥2），
因为a₁＝3，所以a_n＝（2n＋1）·λ^n-1（n∈N*）。
（2）当λ＝4时，a_n＝（2n＋1）·4^n-1，
若存在a_r，a_s，a_t成等比数列，
则[（2r＋1）4^r-1] [（2t＋1）·4^t-1]＝（2s＋1）²·4^2s-2，
整理得（2r＋1）（2t＋1） 4^{r＋t -2s}＝（2s＋1）²，
由奇偶性知r＋t -2s＝0，
所以（2r＋1）（2t＋1）＝（r＋t＋1）²，
即（r-t）²＝0，
这与r≠t矛盾，
故不存在这样的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列。
（3）S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋（2n＋1）λ^n-1，
当λ＝1时，S_n＝3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝n²＋2n；
当λ≠1时，S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋（2n＋1）λ^n-1，
λS_n＝，

，
要对任意n∈N*，都有（1-λ）S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，
①当λ=1时，左=（1-λ）S_n+λa_n=a_n=2n+1≥2，结论显然成立；
②当λ≠1时，
左=（1-λ）S_n+λa_n=
，
因此，对任意n∈N*，都有恒成立，
当0＜λ＜1时，只要对任意n∈N*恒成立，
只要有，
因此，当0＜λ＜1时，结论成立；
当λ≥2时，显然不可能对任意n∈N*恒成立；
当1＜λ＜2时，只要对任意n∈N*恒成立，
只要有即可，解得1≤λ≤；
因此当1＜λ≤时，结论成立；
综上可得，实数λ的取值范围为（0，]。