Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a₁•a₂•…a_n＜2•n！

Answer 1

分析：（1）将条件变为：1-

n

an

=

1

3

(1-

n-1

an-1

)，因此{1-

n

an

}为一个等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）a₁•a₂•a_n=

n！

(1- 1 3 )•(1- 1 32 )(1- 1 3n )

，为证a₁•a₂•a_n＜2•n！只要证n∈N*时有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3n

)＞

1

2

．再由数数归纳法进行证明．

解答：解：（1）将条件变为：1-

n

an

=

1

3

(1-

n-1

an-1

)，因此{1-

n

an

}为一个等比数列，其首项为
1-

1

a1

=

1

3

，公比

1

3

，从而1-

n

an

=

1

3n

，
据此得a_n=

n•3n

3n-1

（n≥1）1°
（2）证：据1°得，a₁•a₂•a_n=

n！

(1- 1 3 )•(1- 1 32 )(1- 1 3n )

为证a₁•a₂•a_n＜2•n！
只要证n∈N*时有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3n

)＞

1

2

2°
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）3°
用数学归纳法证明3°式：
（1）n=1时，3°式显然成立，
（2）设n=k时，3°式成立，
即(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3k

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）
则当n=k+1时，(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•(1-

1

3k

)•(1-

1

3k+1

)≥〔1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）〕•（1-

1

3k+1

）
=1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）-

1

3k+1

+

1

3k+1

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）≥
1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

+

1

3k+1

）即当n=k+1时，3°式也成立．
故对一切n∈N*，3°式都成立．
利用3°得，(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）=1-

1 3 〔1-( 1 3 )n〕

1- 1 3

=1-

1

2

〔1-(

1

3

)n〕=

1

2

+

1

2

(

1

3

)n＞

1

2

故2°式成立，从而结论成立．

点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件．