Question

【题目】设函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R．
（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，求a的值；
（2）若g（x）= 的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）≤a，得 ≤x≤ ．

因为不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，所以 ，解得a=1．

（2）解：g（x）= = 的定义域为R，可得|2x﹣1|+|2x+1|+m≠0恒成立．

∵|2x﹣1|+|2x+1|≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∴m＞﹣2．

【解析】（1）由f（x）≤a，得 ≤x≤ ．再根据不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，可得 ，由此解得a的值．（2）根据g（x）= 的定义域为R，可得|2x﹣1|+|2x+1|+m≠0恒成立．求得|2x﹣1|+|2x+1|的最小值为2，可得m的范围．
【考点精析】关于本题考查的函数的定义域及其求法和绝对值不等式的解法，需要了解求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．