Question

写出适合下列条件的曲线方程：
（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0）并且经过(

5

2

，-

3

2

)求它的标准方程．
（2）已知双曲线两个焦点分别为F₁（-5，0），F₂（5，0），双曲线上一点P到F₁，F₂距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．根据题意利用椭圆的定义，得到2a=2

10

，从而得出a=

10

，再根据c=2利用平方关系算出b²=6，即可得到所求椭圆的标准方程；
（2）根据题意设双曲线标准方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，利用双曲线的定义得到2a=6，可得a=3．结合c=5利用平方关系算出b²=16，即可得到该双曲线的标准方程．

解答：解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵焦点坐标分别是（-2，0）、（2，0），且(

5

2

，-

3

2

)在椭圆上，
∴由椭圆的定义，可得
2a=

( 5 2 +2)2+(- 3 2 )2

+

( 5 2 -2)2+(- 3 2 )2

=2

10

，从而得到a=

10

，
又∵c=2，∴b²=a²-c²=6，
因此，所求椭圆的标准方程为

x2

10

+

y2

6

=1；
（2）∵双曲线焦点在x轴上，
∴设双曲线标准方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
∵双曲线上一点P到F₁、F₂距离差的绝对值等于6，
∴根据双曲线定义，可得2a=6，可得a=3
又∵c=5，∴b²=c²-a²=25-9=16．
因此，所求双曲线的标准方程为

x2

9

-

y2

16

=1．

点评：本题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的标准方程．着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于基础题．