Question

下列命题：
①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要条件．
③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形．
判断错误的有______．

Answer 1

事件A与B互斥，事件A与B不一定对立；反之事件A与B对立，一定有事件A与B互斥．所以“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．所以命题①正确．
由am²＜bm²知m²＞0，不等式两边同乘以

1

m2

得，a＜b，反之，若a＜b，则取m²=0时不能得到am²＜bm²，故am²＜bm²是a＜b的充分不必要条件，故命题②不正确．
原命题：矩形的两条对角线相等．则其否命题为：若四边形不是矩形，则其对角线不相等．此否命题为假命题，如等腰梯形不是矩形，但其对角线相等，故命题③正确．
在△ABC中，若∠B=60°，因为∠A+∠B+∠C=180°，得∠A+∠C=180°-∠B=180°-60°=120°，所以2∠B=∠A+∠C，所以∠A，∠B，∠C三个角成等差数列．
若∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，可设公差为d，则∠A=∠B-d，∠C=∠B+d，由∠A+∠B+∠C=180°，得∠B-d+∠B+∠b+d=180°，∴∠B=60°．
所以在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件，故命题④正确．
在△ABC中，若sinA=cosB，则sinA=sin（90°-B），所以A=90°-B或A+90°-B=180°，所以A+B=90°或A-B=90°，则△ABC不一定为直角三角形，故命题⑤不正确．
故答案为②⑤．