Question

已知首项为1的数列{a_n}满足：对任意的正整数n，都有：a₁·+a₂·+…+a_n·=(n²-2n+3)·2ⁿ+c，其中c是常数.

（1）求实数c的值；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）设数列{·}的前n项和为S_n，求证：S_2n-1＞S_2m，其中m、n∈N^*.

Answer 1

解：（1）由a₁=1及a₁·=(1²-2×1+3)·2¹+c得c=-3.

（2）当n≥2时，有a_n·=(n²-2n+3)·2ⁿ-［(n-1)²-2(n-1)+3］·2^n-1=n²·2^n-1,

设函数f(x)=x²·2^x-1=·2^x,则f()=f(n),当x＞0时，f′(x)=x·2^x+·2^xln2＞0,

函数f(x)在区间［0,+∞)上是增函数，故=n,a_n=n².

又a₁=1²,从而对n∈N^*,有a_n=n².8分

（3）证明:对n∈N^*,·=n·()^n-1，

S_n=1+2·()¹+3·()²+…+(n-1)·()^n-2+n·()^n-1,

()S_n=()+2·()²+…+(n-1)·()^n-1+n·()ⁿ，

两式相减，得S_n=1+()+()²+…+()^n-1-n·()ⁿ，

S_n=-n·()ⁿ=-()ⁿ(n+)，S_n=［1-()ⁿ(n+1)］.

∵S_2n-1=［1-()^2n-1(3n)］=［1+()^2n-1(3n)］＞,S_2m=［1-()^2m(3m+1)］

=［1-()^2m(3m+1)］＜,∴S_2n-1＞S_2m.