Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．
（1）当a=2时，将函数f（x）写成分段函数的形式，并作出函数的简图，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=x|x﹣2|= ，

故作其图象如右图，

函数y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，（2，+∞）；

（2）解：f（x）= ，

①当1＜ ＜2，即2＜a＜4时，

f（x）在[1， ]上是增函数，在（ ，2]上是减函数；

而f（1）=a﹣1，f（2）=2a﹣4，

故f（1）﹣f（2）=a﹣1﹣2a+4=3﹣a，

故当2＜a≤3时，

f（1）≥f（2），

故fmin（x）=f（2）=2a﹣4；

当3＜a＜4时，

f（1）＜f（2），

故fmin（x）=f（1）=a﹣1；

②当a≥4时，f（x）在[1，2]上是增函数，

故fmin（x）=f（1）=a﹣1；

综上所述，fmin（x）= ．

【解析】（1）化简f（x）=x|x﹣2|= ，从而作其图象，并写出单调增区间；（2）化简f（x）= ，分类讨论以确定函数的单调性，从而比较以确定函数的最小值．
【考点精析】掌握二次函数在闭区间上的最值是解答本题的根本，需要知道当时，当时，；当时在上递减，当时，．