Question

已知在关于x的方程ax²-

2

bx+c=0中，a、b、c分别是钝角三角形ABC的三内角A、B、C所对的边，且b是最大边．
（1）求证：该方程有两个不相等的正根；
（2）设方程有两个不相等的正根α、β，若三角形ABC是等腰三角形，求α-β的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由△ABC为钝角三角形，且b为最大边，确定出cosB的范围，利用余弦定理列出关系式，判断出根的判别式为正，确定出方程有两个不相等的实数根，再由韦达定理得出两根之和与两根之积都大于0，即可得到该方程有两个不相等的正根；
（2）若△ABC为等腰三角形，则有a=c，得到两根之积为1，利用完全平方公式得到∴（α-β）²=（α+β）²-4αβ，将两根之和与两根之积，以及利用余弦定理列出的关系式代入，整理得到结果为-4cosB，根据cosB的范围即可确定出α-β的取值范围．

解答：（1）证明：∵△ABC为钝角三角形，且b为最大边，
∴-1＜cosB＜0，且b²=a²+c²-2accosB，
∴方程根的判别式△=（-

2

b）²-4ac=2b²-4ac=2（a²+c²-2accosB）-4ac=2（a-c）²-4accosB＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根（设两实数根分别为α，β），
由韦达定理得：

α+β= 2 b a ＞0 αβ= c a ＞0

，
则方程有两个不相等的正根；
（2）解：若△ABC为等腰三角形，则有a=c，即

α+β= 2 b a αβ=1

，
∴（α-β）²=α²+β²-2αβ=（α+β）²-4αβ=

2b2

a2

-4=

2b2-4a2

a2

=

2(a2+c2-2accosB)-4a2

a2

=

2(2a2-2a2cosB)-4a2

a2

=-4cosB，
∵-1＜cosB＜0，
∴0＜-4cosB＜4，即（α-β）²∈（0，4），
则α-β∈（-2，0）∪（0，2）．

点评：此题考查了余弦定理，根的判别式，韦达定理，以及完全平方公式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．