Question

设函数．
（I）求f（x）最小正周期和值域；
（II）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，△ABC的面积为，求f（A）及a的值．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=sin2x+2cos²x+2
=sin2x+cos2x+3
=2（sin2x+cos2x）+3
=2（cossin2x+sincos2x）
=2sin（2x+）+3…（4分）
∴f（x）最小正周期为T=π，…（5分）
∴当x=2kπ+，k∈Z时，f（x）有最大值5；
当x=2kπ-，k∈Z时，f（x）有最小值1； …（7分）
∴f（x）的值域为[1，5]…（8分）
（II）由（I）可知f（A）=2sin（2A+）+3，…（9分）
∴f（）=2sin（2×+）+3=2sin+3=4…（11分）
∴S_△=bcsinA，则=bcsin，
∴bc=2，又c=1，故b=2，
又a²=b²+c²-2bccosA=1²+2²-4cos，
∴a=…（13分）
分析：（I）将f（x）=sin2x+2cos²x+2化为f（x）=2sin（2x+）+3即可求得f（x）最小正周期和值域；
（II）由（I）可知f（A）=2sin（2A+）+3，可求得f（）=4；在△ABC中，利用面积公式S_△=bcsinA，c=1，可求得b=2，再由余弦定理可求得a．
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质及三角函数的化简求值，综合性强，但难度不大，属于中档题．