Question

【题目】（12分）在数列中，对于任意，等式

成立，其中常数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：数列为等比数列；

（Ⅲ）如果关于n的不等式的解集为

，求b和c的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）证明见解析；（3）， .

【解析】试题分析：（1）分别取n=1，n=2代入，即可得；（2）要证明数列为等比数列，先求出，为此由已知写出，两式相减，即可求出，再用等比数列的定义证明数列为等比数列.（3）先求出的和，不等式转化为，再对b进行分类讨论，进一步转化为或，再由不等式的解集确定出求b和c的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ）解：因为，

所以， ，

解得 ， .

（Ⅱ）证明：当时，由， ①

得， ②

将①，②两式相减，得 ,

化简，得，其中.

因为，

所以 ，其中.

因为 为常数，

所以数列为等比数列.

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，

所以， 11分

又因为，

所以不等式 化简为，

当时，考察不等式的解，

由题意，知不等式的解集为，

因为函数在R上单调递增，

所以只要求 且即可，

解得；

当时，考察不等式的解，

由题意，要求不等式的解集为，

因为，

所以如果时不等式成立，那么时不等式也成立，

这与题意不符，舍去.

所以， .