Question

已知数列{a_n}，其中a1=

4

3

，a2=

13

9

，且当n≥3时，an-an-1=

1

3

(an-1-an-2)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

lim

n→∞

an．

Answer 1

分析：（1）设a_n-a_n-1=x_n-1，则由已知条件得xn-1=

1

3

xn-2，由此及彼入手能够推导出an=a1+

1

6

[1-(

1

3

)n-1]=

3

2

-

1

2

(

1

3

)n．
(2)

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

[

3

2

-

1

2

(

1

3

)n]=

3

2

-

lim

n→∞

1

2

(

1

3

)n=

3

2

-0=

3

2

．

解答：解：（1）设a_n-a_n-1=x_n-1，则由已知条件得xn-1=

1

3

xn-2，
所以数列{a_n}组成了一个公比为

1

3

的等比数列，
其首项x1=a2-a1=

1

9

，
xn-1=x1(

1

3

)n-2=(

1

3

)n，(n=2，3，4)
即an-an-1=(

1

3

)n．
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=(

1

3

)2+(

1

3

)3+(

1

3

)n=

( 1 3 )2[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

=

1

6

[1-(

1

3

)n-1]，
∴an=a1+

1

6

[1-(

1

3

)n-1]=

3

2

-

1

2

(

1

3

)n．
(2)

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

[

3

2

-

1

2

(

1

3

)n]=

3

2

-

lim

n→∞

1

2

(

1

3

)n=

3

2

-0=

3

2

．

点评：本题考查数列的性质和应用及极限知识，解题时要认真审题，合理选取公式．