Question

已知函数，其中.
(1)若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；
(2)在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率   为k，问：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1) 的取值集合为；
(2)存在使成立.且的取值范围为

解析试题分析：(1)利用导数求出的最小值，令其大于等于即，解得的取值集合； (2)由题意知，令然后说明在内有唯一零点且，故当且仅当时， .
试题解析：（1）若，则对一切，，
这与题设矛盾，又，故.
而令
当时，单调递减；当时，单调递增，故当时， 取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当
.　　　　　　　　　　　　　　　　　①
令则
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.
综上所述，的取值集合为.
（2）由题意知，
令则


令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当，即
从而，又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .
综上所述，存在使成立.且的取值范围为.
考点：直线斜率定义、利用导数求函数最值、利用导数求函数单调性、零点存在定理.