如图,椭圆的中心为原点O,已知右准线l的方程为x=4,右焦点F到它的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆C经过点F,且被直线l截得的弦长为4,求使OC长最小时圆C的方程.
解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由题意可得,………………………………………………………………………2分
解得a=2,c=2.…………………………………………………………………………4分
从而b2=a2-c2=4.
所以椭圆的标准方程为+=1.……………………………………………………………6分
(2)设圆C的方程为(x-m)2+(y-n)2=r2,r>0.
由圆C经过点F(2,0),得(2-m)2+n2=r2, ①……………………………7分
由圆C被l截得的弦长为4,得|4-m|2+()2=r2, ②……………………………8分
联立①②,消去r得:n2=16-4m.………………………………………………………10分
所以OC===.……………………………………12分
因为由n2≥0可得m≤4,
所以当m=2时,OC长有最小值2.……………………………………………………14分
此时n=±2,r=2,故所求圆C的方程为(x-2)2+(y±2)2=8.………………16分
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科目:高中数学 来源:2014届河南安阳一中高二第一次阶段测试数学试卷(奥数班)(解析版) 题型:解答题
如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△ 是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程.
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