Question

某种商品，原来定价每件p元，每月能卖出n件，假若定价上涨x成（这里x成即

x

10

，且0＜x≤10），每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．
（1）设y=

1

2

x，求售货金额最大时的x值；
（2）若y=

2

3

x，求使售货金额比原来有所增加的x值的范围．

Answer 1

分析：（1）根据售货金额=单件定价×销售量建立函数关系，然后基本不等式求出函数的最值；
（2）要使售货金额比原来有所增加，当且仅当z＞1时才满足要求，建立不等式关系，解之即可求出所求．

解答：解：（1）由题意知，某商品定价若上涨x成，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p（1+

x

10

）元、n（1-

y

10

）件、znp元．
∴znp=p（1+

x

10

）n（1-

y

10

），
又y=

1

2

x，
∴z=

1

2

（1+

x

10

）（2-

x

10

）．
由已知1+

x

10

＞0，2-

x

10

＞0，
∴z≤

1

2

[

(1+ x 10 )+(2- x 10 )

2

]²=

9

8

，
当且仅当1+

x

10

=2-

x

10

，
即x=5时，取“=”号，得x=5∈（0，10]．
∴售货金额最大时x的值为5．
（2）当y=

2

3

x时，
z=（1+

x

10

）（1-

y

10

）=

1

100

（10+x）（10-

2

3

x）．
显然，要使售货金额比原来有所增加，
当且仅当z＞1时才满足要求．
由

1

100

（10+x）（10-

2

3

x）＞1，得0＜x＜5．
∴使售货金额比原来有所增加的x值的范围是（0，5）．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．