Question

【题目】设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=ex ， f（2）= ，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=ex，

当x＞0时，

故此等式可化为：f'（x）= ，且当x=2时，f（2）= ，

f'（x）= =0，

令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，

求导g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣ = （x﹣2），

当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，

则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，

g（z）的最小值为g（2）=0，

则f'（x）≥0恒成立，

∴f（x）的最小值f（2）= ，

故选D．

【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．