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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在△ABC中，设
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    ，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若
    AP
    =m
    a
    +n
    b
    ，则m=
     
    ，n=
     
    ．
    分析：由
    AP
    =m
    a
    +n
    b
    ，利用中点关系得：
    AQ
    =
    1
    2
    (m
    a
    +n
    b
    )    ，结合向量的减法的三角形法则得
    BQ
    =
    AQ
    -
    AB
    =
    1
    2
    (m  
    a
    +n
    b
    )-
    a
    =(
    1
    2
    m-1)
    a
    +
    1
    2
    n
    b
    ，同理得到得出：
    AP
    =
    AC
    +
    CP
    =(
    1
    8
    m+
    1
    4
    )
    a
    +(
    1
    8
    n+
    1
    2
    )
    b
    ，
    最后利用向量相等
    AP
    =m
    a
    +n
    b
    =(
    1
    8
    m+
    1
    4
    )
    a
    +(
    1
    8
    n+
    1
    2
    )
    b
    ，列出m，n的方程组即可解得：m=
    2
    7
    ，n=
    4
    7
    ．
    解答：解：精英家教网由
    AP
    =m
    a
    +n
    b
    ，得：
    AQ
    =
    1
    2
    (m
    a
    +n
    b
    )    ，
    ∴
    BQ
    =
    AQ
    -
    AB
    =
    1
    2
    (m  
    a
    +n
    b
    )-
    a
    =(
    1
    2
    m-1)
    a
    +
    1
    2
    n
    b
    ，
    ∴
    BR
    =
    1
    2
    [( 
    1
    2
    m-1)
    a
    +
    1
    2
    n
    b
    ]    =(
    1
    4
    m-
    1
    2
    )
    a
    +
    1
    4
    n
    b
    ，
    由于：
    CR
    =
    BR
    -
    BC
    ，
    从而：
    CR
    =(
    1
    4
    m+
    1
    2
    )
    a
    +(
    1
    4
    n-1)
    b
    ，
    ∴
    CP
    =(
    1
    8
    m+
    1
    4
    )
    a
    +(
    1
    8
    n-
    1
    2
    )
    b
    ，
    从而得出：
    AP
    =
    AC
    +
    CP
    =(
    1
    8
    m+
    1
    4
    )
    a
    +(
    1
    8
    n+
    1
    2
    )
    b
    ，
    故有：
    AP
    =m
    a
    +n
    b
    =(
    1
    8
    m+
    1
    4
    )
    a
    +(
    1
    8
    n+
    1
    2
    )
    b
    ，
    ∴
    1
    8
    m+
    1
    4
    =m
    1
    8
    n+
    1
    2
    =n

    解得：m=
    2
    7
    ，n=
    4
    7

    故答案为：
    2
    7
    ；
    4
    7
    ．
    点评：本小题主要考查向量数乘的运算及其几何意义、向量加法减法的应用、向量相等的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，设
    .
    AB
    =
    .
    a
    ，
    .
    AC
    =
    .
    b
    ，点D在线段BC上，且
    .
    BD
    =3
    .
    DC
    ，则
    AD
    用
    a
    ，
    b
    表示为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在△ABC中，设
    AB
    =a    ，
    AC
    =b    ，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
    （Ⅰ）若
    AP
    =λa+μb    ，求λ和μ的值；
    （Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
    S平行四边形ANPM
    S△ABC
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在△ABC中，设
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    ，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若
    AP
    =m
    a
    +n
    b
    ，则m+n=
    6
    7
    6
    7
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图在△ABC中，设
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    ，又
    BD
    =2
    DC
    ，|
    a
    |=2，|
    b
    |=1，?
    a
    ，
    b
    ＞=
    π
    3
    ，（?
    a
    .
    b
    ＞    是表示向量
    a
    ，
    b
    的夹角）
    （1）用
    a
    ，
    b
    表示
    AD

    （2）若点E是AC边的中点，直线BE交AD于F点，求
    AF
    •
    AB
    ．

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