Question

设函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a2-3)x+1
（1）若函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的单调递减区间为（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠∅．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f'（x）=x²-ax+（a²-3）≥0在R上恒成立，故△=a²-4（a²-3）≤0，由此求得实数a的取值范围．
（2）由题意可得f'（x）=0的两根为m，n且m，n中至少有一个负根，故有f'（0）＜0，或

△=a2-4(a2-3)＞0 a 2 ＜0 f′(0)≥0

，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=x²-ax+（a²-3），函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f'（x）=x²-ax+（a²-3）≥0在R上恒成立．（3分）
∴△=a²-4（a²-3）≤0，
∴a≤-2或a≥2，即a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．（6分）
（2）∵f（x）的单调递减区间为（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠?．
∴f'（x）=0的两根为m，n且m，n中至少有一个负根．（8分）
∴f'（0）＜0，或

△=a2-4(a2-3)＞0 a 2 ＜0 f′(0)≥0

，（10分）
∴a∈(-2，

3

)，即实数a的取值范围为 (-2，

3

)．（12分）

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．