Question

【题目】设命题：实数满足不等式，命题：函数无极值点.

（1）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围；

（2）已知“”为真命题，并记为，且：，若是的必要不充分条件，求正整数的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）1.

【解析】

（1）由对数的运算、导函数的应用，可得：，：，再结合复合命题的真假即可得解；

（2）由是的必要不充分条件，结合（1）可得，求解即可.

解：（1）因为，

因为,所以，解得得，即：．

又因为，∵函数无极值点，∴恒成立，则，解得，即：．

∵“”为假命题，“”为真命题，∴与只有一个命题是真命题．

若为真命题，为假命题，则,．

若为真命题，为假命题，则．

故实数的取值范围为或．

（2）∵“”为真命题，∴．

又，∴或， 从而：．

∵是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件，

∴，解得，∵，∴，

故正整数的值为.