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 (本小题满分14分) 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点,过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于轴的直线.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;

(2)求证以ON为直径的圆与直线相切;

(3)求线段MN的长(用表示),并证明M、N两

点到直线的距离之和等于线段MN的长.

 

【答案】

(1) ;

(2)以ON为直径的圆与直线相切. (3)MN两点到距离之和等于线段MN的长.

【解析】此题属于二次函数的综合题目,涉及了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系,梯形的中位线定理,综合性较强,关键是要求同学们能将所学的知识融会贯通.

(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c,然后利用待定系数法求解即可;

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),然后代入抛物线方程,用含y2的式子表示出ON,设ON的中点E,分别过点N、E向直线l、作垂线,垂足为P、F,利用梯形的中位线定理可得出EF,与所求ON的值进行比较即可得出结论;

(3)过点M作MH丄NP交NP于点H,在RT△MNH中表示出MN2,结合直线方程将MN2化简,求出MN,然后延长NP交l2于点Q,过点M作MS丄l2交l2于点S,则MS+NQ=y1+2+y2+2,利用根与系数的关系,求出两根的平方和 ,并代入,从而可得出结论.

(1)设抛物线对应二次函数的解析式为

 ,解得,所以 ……………………4分

(2)设,因为点M、N在抛物线上,

所以,所以

=,所以ON=,又因为

所以ON

 设ON的中点为E,分别过点N、E向直线作垂线,垂足分别为P、F,

    所以ON=2EF,

即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半, 所以以ON为直径的圆与直线相切.                                           …………………………………9分

(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则

,所以

所以

又因为点M、N既在的图象上,又在抛物线上,所以,即

所以

所以,所以 所以 

延长NP交于点Q,过点M作MS⊥交于点S,

则MS+NQ=

=所以MS+NQ=

即MN两点到距离之和等于线段MN的长.…………………………………………14分

 

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