Question

【题目】在平面直角坐标系中，方程（为，为不相等的两个正数）所代表的曲线是（ ）

A. 三角形 B. 正方形 C. 非正方形的长方形 D. 非正方形的菱形

Answer 1

【答案】D

【解析】

解法一 直线：与：将平面分成四个区域：

（I） （II）

（III） （IV）

在区域（I）中，方程（1）成为.（2）

它代表直线.令与相交于点.则由

得点的坐标为.

令与相交于点，由

得点的坐标为.

因此，（1）代表的曲线在区域（I）中是线段.

同样，在区域（II）中，方程（1）成为，它代表直线，与相交于点，与相交于点，方程（1）代表的曲线在区域（II）中是一条线段.

同前，得点在（1）代表的曲线上，且（1）代表的曲线在区域（III）中是线段，（1）代表的曲线在区域（IV）中是线段.

又由于，，，，所以，（1）代表的四边形是非正方形的菱形.故选D.

解法二 将直角坐标系绕原点逆时针旋转，得到新坐标系.点在坐标系中的坐标为，在坐标系中的坐标为.则

题中方程 （1）

化成. （2）

显然，（2）代表的曲线关于轴，轴对称，在的第I象限内，（2）成为，即为线段，其中，.

据对称性，在第II象限内方程（2）是线段，其中；

在第III象限内方程（2）是线段，其中；

在第IV象限内方程（2）是线段.

由对称性知，.又由于，故.所以，是非正方形的菱形.故选D.