Question

【题目】设，向量分别为平面直角坐标内轴正方向上的单位向量，若向量 ， , ,且．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设椭圆，曲线的切线 交椭圆于、两点，试证：的面积为定值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）∵ ， , ,且．

∴

∴ 点到两个定点，的距离之和为4…………2分

∴ 点的轨迹是以、为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为则：

∴ ………………3分

其方程为. ……………4分

（Ⅱ）证明：设，，

将代入椭圆的方程，消去可得

显然直线与椭圆的切点在椭圆内，∴，

由韦达定理得：

， ……………………………………………6分

所以 …………………………………………………7分

因为直线与轴交点的坐标为，

所以的面积 …………………9分

…………10分

设 ，则，

将代入椭圆的方程，可得 ………11分

由，可得， 即， …………………………………………12分

所以为定值. ………………………………………………………………13分

【命题意图】本题主要考查直线的方程、椭圆的方程与性质、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定值与范围问题，考查最基本的运算能力以及逻辑推理能力、方程的思想等，是难题.