Question

已知函数f（x）=xln（1+x）-a（x+1），其中a为常数．
（I）当x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（II）求g(x)=f′(x)-

ax

x+1

的单调区间．

Answer 1

分析：（I）先把f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0转化为a＜ln（1+x）+

x

1+x

，再利用导函数研究出不等式右边的单调性，进而求出其最值即可求出实数a的取值范围；
（II）先求出函数g（x）的导函数，分情况得到导函数值为正和为负对应的变量的取值范围，进而求出其单调区间．

解答：解：（I）由f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0
得a＜ln（1+x）+

x

1+x

，
令h（x）=ln（1+x）+

x

1+x

，则h'（x）=

1

1+x

+

1

(1+x) 2

．
当x∈[1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上递增，
∴a＜h（1）=

1

2

+ln2．
∴实数a的取值范围是（-∞，

1

2

+ln2）．
（II）g（x）=ln（1+x）+

(1-a)x

x+1

-a，x∈（-1，+∞）
则g'（x）=

1

1+x

-

1-a

(x+1) 2

=

x+2-a

(x+1)2

①当a＞1时，x∈（-1，a-2），g'（x）＜0，g（x）是减函数，
x∈（a-2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
②当a≤1时，x∈（-1，+∞），g'（x）＞0，g（x）是增函数．
所以：当a＞1时，减区间为（-1，a-2），增区间为（a-2，+∞）；
当a≤1时，增区间为（-1，+∞）．

点评：本题第二问主要研究利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性时，一般结论是：导数大于0对应区间为原函数的递增区间；导数小于0对应区间为原函数的递减区间．