Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点， ， 在圆上．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线交圆于， 两点．　

①若弦长，求直线的方程；

②分别过点， 作圆的切线，交于点，判断点在何种图形上运动，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）设圆的方程为： ，将点， ， 分别代入圆方程列方程组可解得， ， ，从而可得圆的方程；（2）①由（1）得圆的标准方程为，讨论两种情况，当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，由弦长，根据点到直线距离公式列方程求得，从而可得直线的方程；②，利用两圆公共弦方程求出切点弦方程，将代入切点弦方程，即可得结果.

试题解析：（1）设圆的方程为： ，由题意可得

解得， ， ，故圆的方程为．

（2）由（1）得圆的标准方程为．

①当直线的斜率不存在时， 的方程是，符合题意；

当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，即，

由，可得圆心到的距离，

故，解得，故的方程是，

所以， 的方程是或．

②设，则切线长，

故以为圆心， 为半径的圆的方程为，

化简得圆的方程为： ，①

又因为的方程为，②

②①化简得直线的方程为，

将代入得： ，

故点在直线上运动．